Это мой перевод статьи SYNTH SECRETS - Part 4: Of Filters & Phase Relationships
Фильтры и фаза
Просто фаза
Для начала рассмотрим, что происходит при простом совмещении двух синусов. На рисунке вверху видно, что при сложении двух идентичных волн результатом является тот же звук, но более громкий. Но что произойдет, если мы проиграем волну начиная с середины цикла исходной? Из рисунка видно, что эти волны взаимоисключат друг друга и результатом их сложения будет тишина (нижняя часть рисунка). Хотя по отдельности вы будете слышать эти сигналы, при сложении будет тишина.
Это важный результат, который свидетельствует, что в то время, когда вы можете описать одну волну указывая лишь ее частоту и амплитуду, при сложении двух (или более) волн вы должны рассматривать их относительные смещения! Это смещение, как правило, называется фазой волны по отношению к другой и выражается в градусах, как и при измерении углов.
Конечно вы можете смешивать волны с любым смещением фазы, а амплитуда результирующей волны будет лежать где-то между «двойной» громкостью и тишиной.
Теперь давайте рассмотрим это смещение как временнýю разницу. Допустим, наш синус с частотой 100Гц, или 100 циклов в секунду. Мы можем сказать, что каждый цикл занимает 0,01 секунды, а сдвиг фазы на 180° соответствует сдвигу во времени на 0,005с, или 5 милисекунд.
Рассмотрим пару синусов с соотношениями частот 2:1. Вторая волна будет 200Гц, и 5 мс будет достаточно для завершения полного цикла данной волны. При сложении наши волны сложатся так же как и без смещения (см рисунок вверху, нижняя часть).
Теперь давайте применим наши знания для более сложных сигналов – для пилы. Пила имеет все гармоники, поэтому, если основной тон (первая гармоника) имеет частоту 100Гц, то вторая будет 200Гц, третья 300Гц и т.д. Добавление двух пил со смещением 180° даст нам взыимовычет основных тонов (100Гц). Но вторая гармоника, лежащая на 200Гц, будет усилена. Третья гармоника, в три раза превышающая частоту основного тона, будет погашена, четвертая усилена, пятая погашена и т.д. В результате получим волны с гармониками 200Гц, 400Гц, 600Гц… А это не что иное, как пилообразная волна, но превышающая основной тон в два раза. Это потрясающий результат!
Теперь вывод: сочетание сигнал не в фазе не обязательно приведет к полному гашению сигнала. Да и на самом деле, в реальном мире это встречаться редко.
Тем не менее, даже этот результат является одним из простейших примеров сдвига фазы. Представьте себе, насколько сложный результат получится, если применить эти идеи на более сложных формах волны. Некоторые гармоники будут немного приглушены, некоторые бут звучать громче, некоторые совсем погашены, некоторые полностью усилены. Это пример того, что происходит в реальном мире. Анализ Фурье рассказывает нам о том, что два любых сложных сигнала (таких как слова и музыка) могут быть охарактеризованы как бесконечное число синусоид, которые представляют все частоты, присутствующие в сигнале. Итак, для любого конкретного смещения двух идентичных сигналов каждая частота будет смещена по фазе на различное значение. В результате, если посмотреть на спектроанализатор, то мы увидим «гребень», а результаты смещения фазы мы увидим в виде «разницы высот» отдельных гармоник этого «гребня».
Выражение фазы в градусах
Так как мы можем выразить смещение фазы в градусах? Градусы в математике используются для измерения углов, величины поворота и т.д. рассмотрим простую синусоидальную волну. В какое то произвольное время волна растет начиная с нуля, находится в своем максимальном значении ровно в четверти своего цикла, снова пересекает нулевую линию в середине цикла, достигает низшей точки при 3/4 цикла и затем снова возвращается в нуль перед тем как снова начать цикл.
Но форма синусоидальной волны может быть описана и другим способом. Представьте себе точку на окружности вращающегося колеса при постоянной скорости и представьте себе форму ее следов, если рассматривать только вертикальные элементы его передвижения. Вы получите следы вверх-вниз. Теперь представьте, что рисунок этих следов движется во времени на постоянной скорости. Результатом этого «рисунка в движении» будет наша синусоидальная волна. Таким образом, этот подход позволяет нам использовать единицы, описывающие вращение, применительно к описанию цикла синусоидальной волны. Этот цикл начинает движение из точки 0°, в верхней части цикла точка на окружности имеет поворот в 90°, в середине цикла - 180°, в нижней точке - 270° и возвращается к началу вращения после полного оборота в 360° (то же самое, что и 0°).
Это очень изящный способ выражения фазы сигнала, который позволяет легко описывать относительные этапы. Например, если две волны при сложении образуют тишину, то можно сказать, что они на 180° вне фазы (или смещены по фазе).
Фильтрация и фаза
Итак, теперь мы кое что знаем о фазе, и как она тесно связана с аудио фильтрацией. Теперь спросим себя: если изменения фазы приводят к фильтрации, то можно предположить, что фильтрация приводит к фазовым сдвигам? Ответ: конечно да!
Посмотрите на электрическую схему на рисунке вверху. Здесь изображены два компонента – резистор и конденсатор, но она отображает вполне работоспособный фильтр, называемый RC low-pass фильтр. И мы знаем, что через этот фильтр беспрепятственно проходят все частоты ниже «точки среза», а частоты выше этой точки ослабляются. На рисунке вверху снизу изображен фазовый ответ фильтра, который показывает, что фаза любой частоты будет смещена в большей или меньшей степени. Как вы можете видеть, низкочастотные сигналы на частоте среза смещаются на 1/8 цикла
(-45°), а высокочастотные сигналы смещаются до полных (-90°).
Давайте проиллюстрируем это на примере квадратной волны 100Гц.
Наши сигнал имеет опорную частоту 100Гц, вторая гармоника на 200Гц отсутствует, третья гармоника - на 300Гц с амплитудой, равной трети от основной (100Гц), четвертая отсутствует, пятая – 500Гц и амплитудой 1/5 от основной, и т.д. Все гармоники в фазе, а форма волны изображена на рисунке вверху.
Допустим, наш фильтр имеет частоту среза 400Гц. Тогда основной тон и обертон на 300Гц будут незатронуты, а все обертоны 500Гц и выше буду подавлены в соответствии с добротностью фильтра. В результат волна примет примерно такой вид, как на рисунке вверху(в середине).
Теперь давайте учтем сдвиги фаз каждой гармоники. Сигнал будет заметно искажен по сравнению с оригиналом (на рисунке вверху снизу).
Из этого следует вывод: фильтры не только ослабляют определенные частоты, но и производят сдвиги фазы между гармониками.
Возможно, в связи с простотой фильтрованной квадратной волы вы не услышите разницу от сдвига фазы, но на более комплексных сигналах этот эффект довольно сильно заметен.
Фильтры и фаза
Просто фаза
Для начала рассмотрим, что происходит при простом совмещении двух синусов. На рисунке вверху видно, что при сложении двух идентичных волн результатом является тот же звук, но более громкий. Но что произойдет, если мы проиграем волну начиная с середины цикла исходной? Из рисунка видно, что эти волны взаимоисключат друг друга и результатом их сложения будет тишина (нижняя часть рисунка). Хотя по отдельности вы будете слышать эти сигналы, при сложении будет тишина.
Это важный результат, который свидетельствует, что в то время, когда вы можете описать одну волну указывая лишь ее частоту и амплитуду, при сложении двух (или более) волн вы должны рассматривать их относительные смещения! Это смещение, как правило, называется фазой волны по отношению к другой и выражается в градусах, как и при измерении углов.
Конечно вы можете смешивать волны с любым смещением фазы, а амплитуда результирующей волны будет лежать где-то между «двойной» громкостью и тишиной.
Теперь давайте рассмотрим это смещение как временнýю разницу. Допустим, наш синус с частотой 100Гц, или 100 циклов в секунду. Мы можем сказать, что каждый цикл занимает 0,01 секунды, а сдвиг фазы на 180° соответствует сдвигу во времени на 0,005с, или 5 милисекунд.
Рассмотрим пару синусов с соотношениями частот 2:1. Вторая волна будет 200Гц, и 5 мс будет достаточно для завершения полного цикла данной волны. При сложении наши волны сложатся так же как и без смещения (см рисунок вверху, нижняя часть).
Теперь давайте применим наши знания для более сложных сигналов – для пилы. Пила имеет все гармоники, поэтому, если основной тон (первая гармоника) имеет частоту 100Гц, то вторая будет 200Гц, третья 300Гц и т.д. Добавление двух пил со смещением 180° даст нам взыимовычет основных тонов (100Гц). Но вторая гармоника, лежащая на 200Гц, будет усилена. Третья гармоника, в три раза превышающая частоту основного тона, будет погашена, четвертая усилена, пятая погашена и т.д. В результате получим волны с гармониками 200Гц, 400Гц, 600Гц… А это не что иное, как пилообразная волна, но превышающая основной тон в два раза. Это потрясающий результат!
Теперь вывод: сочетание сигнал не в фазе не обязательно приведет к полному гашению сигнала. Да и на самом деле, в реальном мире это встречаться редко.
Тем не менее, даже этот результат является одним из простейших примеров сдвига фазы. Представьте себе, насколько сложный результат получится, если применить эти идеи на более сложных формах волны. Некоторые гармоники будут немного приглушены, некоторые бут звучать громче, некоторые совсем погашены, некоторые полностью усилены. Это пример того, что происходит в реальном мире. Анализ Фурье рассказывает нам о том, что два любых сложных сигнала (таких как слова и музыка) могут быть охарактеризованы как бесконечное число синусоид, которые представляют все частоты, присутствующие в сигнале. Итак, для любого конкретного смещения двух идентичных сигналов каждая частота будет смещена по фазе на различное значение. В результате, если посмотреть на спектроанализатор, то мы увидим «гребень», а результаты смещения фазы мы увидим в виде «разницы высот» отдельных гармоник этого «гребня».
Выражение фазы в градусах
Так как мы можем выразить смещение фазы в градусах? Градусы в математике используются для измерения углов, величины поворота и т.д. рассмотрим простую синусоидальную волну. В какое то произвольное время волна растет начиная с нуля, находится в своем максимальном значении ровно в четверти своего цикла, снова пересекает нулевую линию в середине цикла, достигает низшей точки при 3/4 цикла и затем снова возвращается в нуль перед тем как снова начать цикл.
Но форма синусоидальной волны может быть описана и другим способом. Представьте себе точку на окружности вращающегося колеса при постоянной скорости и представьте себе форму ее следов, если рассматривать только вертикальные элементы его передвижения. Вы получите следы вверх-вниз. Теперь представьте, что рисунок этих следов движется во времени на постоянной скорости. Результатом этого «рисунка в движении» будет наша синусоидальная волна. Таким образом, этот подход позволяет нам использовать единицы, описывающие вращение, применительно к описанию цикла синусоидальной волны. Этот цикл начинает движение из точки 0°, в верхней части цикла точка на окружности имеет поворот в 90°, в середине цикла - 180°, в нижней точке - 270° и возвращается к началу вращения после полного оборота в 360° (то же самое, что и 0°).
Это очень изящный способ выражения фазы сигнала, который позволяет легко описывать относительные этапы. Например, если две волны при сложении образуют тишину, то можно сказать, что они на 180° вне фазы (или смещены по фазе).
Фильтрация и фаза
Итак, теперь мы кое что знаем о фазе, и как она тесно связана с аудио фильтрацией. Теперь спросим себя: если изменения фазы приводят к фильтрации, то можно предположить, что фильтрация приводит к фазовым сдвигам? Ответ: конечно да!
Посмотрите на электрическую схему на рисунке вверху. Здесь изображены два компонента – резистор и конденсатор, но она отображает вполне работоспособный фильтр, называемый RC low-pass фильтр. И мы знаем, что через этот фильтр беспрепятственно проходят все частоты ниже «точки среза», а частоты выше этой точки ослабляются. На рисунке вверху снизу изображен фазовый ответ фильтра, который показывает, что фаза любой частоты будет смещена в большей или меньшей степени. Как вы можете видеть, низкочастотные сигналы на частоте среза смещаются на 1/8 цикла
(-45°), а высокочастотные сигналы смещаются до полных (-90°).
Давайте проиллюстрируем это на примере квадратной волны 100Гц.
Наши сигнал имеет опорную частоту 100Гц, вторая гармоника на 200Гц отсутствует, третья гармоника - на 300Гц с амплитудой, равной трети от основной (100Гц), четвертая отсутствует, пятая – 500Гц и амплитудой 1/5 от основной, и т.д. Все гармоники в фазе, а форма волны изображена на рисунке вверху.
Допустим, наш фильтр имеет частоту среза 400Гц. Тогда основной тон и обертон на 300Гц будут незатронуты, а все обертоны 500Гц и выше буду подавлены в соответствии с добротностью фильтра. В результат волна примет примерно такой вид, как на рисунке вверху(в середине).
Теперь давайте учтем сдвиги фаз каждой гармоники. Сигнал будет заметно искажен по сравнению с оригиналом (на рисунке вверху снизу).
Из этого следует вывод: фильтры не только ослабляют определенные частоты, но и производят сдвиги фазы между гармониками.
Возможно, в связи с простотой фильтрованной квадратной волы вы не услышите разницу от сдвига фазы, но на более комплексных сигналах этот эффект довольно сильно заметен.
